24 点求解器 — 4 个数字凑出 24

输入数字,查看凑成 24 的所有方法。

允许分数中间步骤，如 8 ÷ (3 − 8 ÷ 3)

小贴士:可以直接粘贴 "3 5 8 1"、"3,5,8,1" 或 "3581"。

试试这些：3 3 8 8 1 5 5 5 3 3 7 7 4 4 10 10

解法列表

输入数字后点击「求解」,结果会显示在这里。

24 点游戏规则

你会拿到一手数字——经典纸牌版为 4 个数字，每个在 1(A)到 13(K)之间。每个数字必须恰好使用一次，用加、减、乘、除组合，并用括号控制运算顺序，最终结果恰好等于 24 即告成功。

有些牌必须借助分数中间步骤——3、3、8、8 就只有 8 ÷ (3 − 8 ÷ 3) 这一种解法。打开上方的「分数步骤」可允许非整数中间结果，关闭则是经典整数规则。3 个或 5 个数字时规则相同：每个数字用一次，目标是 24。

难度从哪来也不神秘。含两位数牌（10 到 13）的牌型贡献了大部分难度——它们一乘就变成大数，把好用的因数对挤没了。全部由 1 到 9 组成的牌更温和，而少数必须走分数的牌就是那些名局。求解器对它们一视同仁：每种排列、每种运算，全都查一遍。解法页上标着每手牌的难度分层，按难度选牌不用信任何人的直觉——包括你自己的。

每条解法背后的策略

求解器从不瞎猜——它把数字的每种排列、每种运算、每种加括号的方式全部试一遍，所以它的答案（以及它的「无解」）都值得信任。而快的人靠的是几个可复用的套路。学会下面这六个，你不仅能读懂求解器给出的每条解法，通常还能抢在它前面。每个套路都短到一分钟就能教会，又通用到适用于你遇到的每一手牌。

从 24 的因数对出发

24 = 3 × 8 = 4 × 6 = 2 × 12。当一条解法以乘法收尾，最后一步往往就是全部计划：两个因数是先造出来的。在手牌里先认出一个因数——比如一个 8——问题立刻缩小一圈：剩下三张牌能不能凑出它的搭档 3？这个习惯打开的牌比任何其他套路都多，所以排在第一。

检查 24 的邻居

24 也是 18 + 6、21 + 3、20 + 4、30 − 6。当乘法路线看不出来时，高手会让三张牌先逼近 24 附近，第四张负责补上差值。5 × 4 + 6 − 2 这样的解法，本质是伪装的「20 + 4」——求解器找得到它，但会查邻居的人找得更快。查四个邻居只要几秒，一大批「看着没法乘」的牌就打开了。

两两拆对

很多解法把牌两两配对：(a □ b) □ (c □ d)。让每一对各自凑出好用的数——6 和 4、12 和 2——最后一步运算收尾。当求解器的答案在括号外只剩一个运算符，那就是它找到的拆对。两个学生共用一块屏幕时，这也是天然的分工：一人认领一对，报出各自的得数。

走分数这条路

1,362 手有解的牌里，只有 16 手必须在中途动用分数——但名局恰恰集中在这些牌上。8 ÷ (3 − 8 ÷ 3) 里的 8 ÷ 3 不是失误：它造出的 1/3 正是外层除法需要的东西。当整数路线全部走死、而求解器坚持这手有解时，去找一个「余数值得留下」的除法。上方的「分数步骤」开关管的正是这件事——关掉它，这些牌就会老老实实报无解。

从 24 倒推

把一张牌单拎出来，问剩下三张必须凑出什么。手里有 8，其余的要凑 3（走乘法）或 16（走加法）；手里有 6，就凑 4 或 18。每选一次，搜索空间就小一圈——这也正是倒着读一条解法的方式：先看最后一个运算。这样读答案也是最快的验算方式：先验最后一步，再验喂给它的两个半边。

全都不顺时：穷举，别瞎猜

人会过早放弃，求解器不会。它把四张牌的每种排列、每种运算选择、每种加括号方式全部走完——所以它的「无解」是证明，不是耸肩。穷举也顺便找得到那些没有任何套路指向的偏门路线：有些答案，只能靠全都试一遍来遇见。而且一手四数牌的完整搜索，在你意识到它开始之前就结束了。

经典例题与解答

搜索次数最多的几手牌，直接给出答案。点击上方例题按钮即可载入求解器，浏览全部替代解法——下方每个条目都链到该牌的完整解法页，全部路线并排摆在一起。

4 4 10 10
(10 × 10 − 4) ÷ 4 = 24。最著名的难题：10 × 10 得 100，减 4 得 96，96 ÷ 4 恰好等于 24。
3 3 8 8
8 ÷ (3 − 8 ÷ 3) = 24。整数范围内无解——括号内 8 ÷ 3 余下 1/3，8 ÷ 1/3 正好等于 24。
1 5 5 5
5 × (5 − 1 ÷ 5) = 24。同样靠分数：1 ÷ 5 把第二个 5 变成 4.8，5 × 4.8 恰好是 24。
3 3 7 7
7 × (3 + 3 ÷ 7) = 24。另一手分数名局：3 ÷ 7 得 3/7，加 3 变成 24/7，再乘 7 恰好落在 24。和 3 3 8 8 一样，整数路线一条都不存在——分数步骤是唯一的入口。

常见问题

一手牌可能无解吗？

可能，很多手牌确实无解。1、1、1、1 是极端例子：任何排列都凑不出 24。当求解器回答「无解」时，它已经穷举了所有排列、运算顺序与括号组合，结论可信，直接换一手牌即可。它背后的引擎是精确算术——分数也精确——所以差一点的答案绝不会被打成解法。

允许哪些运算法则？

加、减、乘、除，并用括号分组。不允许乘方、开根、拼接数字或阶乘，每个数字必须恰好使用一次——这是经典规则，也是本求解器采用的规则。

中间步骤允许分数吗？

打开「分数步骤」后，中间结果可以是分数——8 ÷ 3 = 8/3 没问题，只要最终结果恰好是 24。关闭后则要求每一步都是整数，即更严格的经典玩法。

一手牌最多有几条解法？

从 1 到 22 条都有。纪录保持者是 1 5 7 12——22 条不同解法；也有不少有解的牌恰好只有一条。在解法档案里打开任何一手，都能并排看到它的全部解。解法数量对教学也有用：多解的牌适合当宽容的热身，唯一解的牌适合当干脆的决胜局。

无解的牌有多常见？

全部 1,820 手四数牌里，恰好 458 手无解——约四分之一。求解器是在试完所有排列之后才说这句话的，所以这个结论值得信任，而不只是让人泄气。其余 1,362 手都至少有一条路。

能用三个数或五个数来解吗？

可以——上方的模式切换把手牌设为 3、4 或 5 个数。规则不变：每个数恰好用一次，用 + − × ÷ 和括号，结果恰好等于 24。三数牌适合给低年级当入门坡道；五数牌常见于课堂上的变体玩法。