我们穷举了所有24点牌型：1,820 种组合，458 种无解

先说答案

**1,820 种可能的四数牌型中，恰好有 1,362 种能凑出 24，其余 458 种不能。**这两个数字不是估算，也不是抽样跑出来的——它们来自对每一种牌型、每一条可能算式的完全穷举。完整结果以开放数据集的形式发布，免费下载，欢迎引用。

一共到底有多少种牌型？

按经典规则（四个数，每个取 1 到 13，允许重复，不计顺序），计数是一个标准的可重复组合问题：C(16, 4) = 1,820 种不同的牌型。这个规模小到可以完全暴力枚举——而我们确实这么做了。对这么小的搜索空间做近似，说不过去。

穷举是如何保证可信的

三条性质让结果可信，而不仅仅是「看起来对」：

1. **精确分数算术。**每个中间结果都是精确的有理数——一对整数，绝不使用浮点数。8 ÷ 3 始终是 8/3，而不是 2.6666…，因此没有任何一组牌会因为舍入误差而被误判。
2. **规范多重集去重。**牌型按排序后的多重集去重，3 8 8 3 和 8 3 3 8 只计一次。全部 1,820 组多重集每组恰好被枚举一遍。
3. **穷举二叉树搜索 + 规范式去重。**求解器用 + − × ÷ 尝试所有合并方式，通过规范式剪掉交换律、结合律产生的重复，只统计数学意义上不同的解法。仅仅交换了加数顺序的两条算式，计为一种。

想亲自验证的话，数据集的文档里写明了可复现的方法，求解器用的也是同一套引擎，可以直接上手试。

数据里冒出来的意外

**真正需要分数的只有 16 组。**著名的分数题——3 3 8 8 的 8 ÷ (3 − 8 ÷ 3)、5 5 5 1 的 5 × (5 − 1 ÷ 5)——让人感觉分数解法只是冰山一角。其实它们几乎就是整座冰山：1,362 组有解牌型中，恰好只有 16 组不存在全整数中间结果的解法，其余 1,346 组用课堂规则全能解开。

**解法最多的牌型毫不花哨。**纪录保持者是 1 5 7 12，共有 22 种不同解法——其中大多数只是同一个内核换上 ×1、÷1 的记账外衣。解法数量多，靠的是牌里有一张 1，而不是靠什么巧思。

**4 4 10 10 其实是道「简单题」。**它看着像专家级的墙，冷不丁撞上它的玩家都会被唬住。但它唯一的解法 (10 × 10 − 4) ÷ 4 只用整数和一次大乘积，没有任何花哨之处。难度衡量的是「找到解法有多难」，而不是「解法长什么样」——这正是我们的难度分级按可解性模式打分、而不按算式形态打分的原因。

**无解的牌型也有诚实的页面。**全部 458 种无解牌型——最典型的例子是 1 1 1 1——各自拥有独立页面，直截了当写明没有任何算式能得到 24，并附上穷举证明作为后盾。一个只展示有解牌型的目录，等于悄悄撒了一个隐瞒的谎。

怎么用这份数据

数据集页面提供完整穷举结果的文件下载，涵盖每一种牌型、它的全部解法和分类。如果你在研究、教学资源或文章里用到了这些数字，请引用这份数据集——另外，如果你发现了错误，我们真心想知道：1,820 组牌型里任何可复现的偏差，都是我们穷举代码的 bug，而不是舍入误差。

不知道从哪里开始？浏览完整解答目录，挑一个难度等级，试试能不能比档案馆先算出答案。