24点解题心法：凑因数对，以及凑不出来的之后怎么办

瞎试是撑不了多久的

1,820 组四数牌型里，有解的有 1,362 组。只靠运气，早晚会卡死。高手和幸运儿的区别在于有没有一套固定的搜索顺序——从最容易的形状一路试到最难，命中即停。这就是那道阶梯，一级一级走，用的全是解答档案馆里的真实牌型。

第一级：凑因数对

乘法是最「浓缩」的运算：四张牌若能拆成两个块，分别值 3 和 8、4 和 6、或 12 和 2，题目就结束了。所以问题从来不是「这四个数怎么凑 24」，而是「它们能不能拆出一个 3 和一个 8」。

拿 2 3 4 6 来说：4 × 6 就在眼前，但剩下的 2 和 3 凑不出 1，直接拆行不通。换个拆法：(6 − 3) × 2 × 4 = 24，或者 6 ÷ (3 − 2) × 4 = 24。这道题相当大方——共有 10 种不同解法，绝大多数走的是因数路线。你的解法对不对，看 2 3 4 6 解答页的全部清单便知。

第二级：试试加法形状

因数拆不动时，问问自己：四张牌能不能分成两对，各自加出 18 和 6、16 和 8、20 和 4、12 和 12？其实大多数「简单题」正是倒在加法形状上的——档案馆的简单级几乎被它们承包了。

第三级：走极端——大乘积，小差距

有些牌型只有让某一步「用力过猛」才有解。4 4 10 10 看着像一堵墙：没有因数对，没有加法形状。突破口是一个大乘积：10 × 10 = 100，减去 4 得 96，再除以剩下的 4——(10 × 10 − 4) ÷ 4 = 24。留意「两位数乘积恰好超出 24 一个剩余牌的倍数」这个模式，值得背下来；4 4 10 10 解答页证实这是该牌型唯一一条整数路线。

第四级：分数万能式 a ÷ (b − c ÷ d)

前三步都失败时，停止找乘法，改找小分母：如果其中三张牌能凑出 1/3、1/4、2/3 这样的小值，第四张除以它就完事了。

3 3 8 8 是最经典的案例，也是这道题最有名的一道题：8 ÷ (3 − 8 ÷ 3) = 24。它的整数路径全部走不通——分数是唯一的门。姊妹题 5 5 5 1 从另一侧走同一条路：1 ÷ 5 = 1/5，5 − 1/5 = 24/5，于是 5 × (5 − 1 ÷ 5) = 24。a ÷ (b − c ÷ d) 这个形态（或其乘法变体）几乎包办了所有依赖分数的牌型——全库 1,820 组里，真正需要分数才能解开的只有 16 组，全部住在专家级。

第五级：乘 1 与加 0

最后一级是记账技巧：用一对冗余的牌而不惊动其余部分。1 和任何牌搭配都是白送的构造——1 × 任何数、任何数 ÷ 1——(a − a) 这样的差则等于加 0。与其说是救命招，不如说是某些牌型解法数量离谱的原因：1 5 7 12 以 22 种不同解法的纪录冠绝全库，其中大多数是同一个「有用内核」5 + 7 + 12 的各种换装：1 × 5 + 7 + 12、5 ÷ 1 + 7 + 12、1 − 12 + 5 × 7……完整清单见 1 5 7 12 解答页。

把阶梯用起来

1. 因数对？（3×8、4×6、12×2）——大多数题倒在这一级。
2. 加法形状？（18+6、16+8、20+4）——剩下的大多数倒在这里。
3. 极端构造？——一个大乘积，或一个精心设计的差。
4. 分数万能式？——a ÷ (b − c ÷ d)。
5. 记账——乘 1、加 0 的消牌构造。

每道题从上到下走一遍，困难级的绝大多数牌型一分钟内必有头绪。卡住时用求解器查看任意四数的全部解法——但把它用来复盘「漏了哪一级」，而不是代替思考。

刚接触这个游戏？先从规则入门开始，等前十道题让你觉得慢了，再回来读这篇。